《离散数学》(1)集合及其运算
发布人： 日期：2012-03-14 00:00浏览次数：3755点赞次数：0
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第3章 集合及其运算
集合在中学已经学习过，而且在高等数学的学习过程中也曾遇到，这里只是多了一个幂集的概念，着重对幂集合的理解，一是掌握幂集合的构成，二是幂集合的元数为2n,其中n是集合的元数。
一、教学基本要求
1. 理解集合、元素、全集合、空集合、集合的元数和幂集等概念。
2. 理解集合的包含、子集和相等等概念，熟练掌握集合的表示方法和集合的并、交、补、差和对称差等运算，会用文氏图表示集合的各种运算。
3. 掌握集合运算的基本规律，掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法。
4. 了解有序对和笛卡儿积的概念，会作笛卡儿积的运算。
本章重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明。笛卡儿积。
二、学习辅导
本章重点辅导四个问题：集合的概念，集合的运算，集合集合恒等式的证明和笛卡儿积。
1. 集合的概念
有如下知识点：
·集合，元素，集合的元数；
·集合的表示方法：列举法和描述法；
·特殊集合：全集合E，空集合Æ，
·集合的关系：包含，子集，集合相等，幂集。
在集合概念部分要特别注意：元素与子集，子集与幂集，Î与Ì(Í)，空集Æ与所有集合等的关系。
例3.1 已知S＝{2,a,{3},4},R={{a},3,4,1},指出下列命题的真值。
(1) {a}ÎS; (2) {a}ÎR;
(3) {a,4,{3}}ÍS; (4) {{a},1,3,4}ÍR;
(5) R=S; (6) {a}ÍS;
(7) {a}ÍR; (8) ÆÌR;
(9) ÆÍ{{a}}ÍR; (10) {Æ}ÍS;
(11) ÆÎR; (12) ÆÍ{{3},4}.
解 集合S有四个元素组成：2，a，{3}，4，而元素{3}又是集合。集合R类似。
(1) {a}，这是单元素的集合，{a}不是集合S的元素。故命题A：{a}ÎS的真值为0；
(2) {a}是R的元素，故命题B：{a}ÎR的真值为1。
(3) a,4,{3}都是集合S的元素，它们可以构成S的子集。故命题C：{a,4,{3}}ÍS的真值为1．
(4) {a}，1，3，4都是R的元素，它们可以构成R的子集，故命题D：{{a},1,3,4}ÍR的真值为1。
注意：列举法表示的集合的元素，把所有元素全列出来，放在圆括号内，在圆括号内的顺序可任意。
(6)和(8)，(9)和(12)相应题号的命题，其真值为1；而(5)，(7)，(10)，(12)相应题号的命题，其真值为0。
2. 集合的运算
集合的运算有并、交、补、差、对称差，当然应该很好地掌握。由这些运算，派生出10条运算律(即运算的性质)，即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等。
集合的运算部分有三个方面的问题：其一是进行集合的运算；其二是集合运算式的化简；其三是集合恒等式的推理证明。
集合恒等式证明的目的有两个，一是通过证明的练习，加深对集合性质和第1章命题公式基本等值式的理解和掌握；一是为第8章学习布尔代数中部分性质的应用打下良好的基础。
集合恒等式的证明方法通常有二：其一，要证明A＝B，就需要证明AÍB；在证明AÊB。
其二，通过运算律进行等式推导。
3. 有序对与笛卡儿积
有序对就是有顺序的数组，如<x,y>，x,y 的位置是确定的，不能随意放置。
注意：有序对¹，以a,b为元素的集合{a,b}={b,a}；有序对(a,a)有意义，而集合{a,a}不成立，因为它只是单元素集合，应记作{a}。
笛卡儿积是一种集合合成的方法，把集合A，B合成集合A×B，规定
A×B＝{½xÎA,yÎB}由于有序对中x,y的位置是确定的，因此A×B的记法也是确定的，不能写成B×A。 h笛卡儿积也可以多个集合合成，A1×A2×…×An。
h笛卡儿积的运算性质。
例3.7 设集合 A={a,b},B={1,2,3},C={d},求A×B×C，B×A。
解 先计算A×B＝{,,,,,}
A×B×C＝{,,,,,}×{d}
＝{<,d>,<,d>,<,d>,<,d>,<,>,<,d>}
B×A＝{<1,a>,<2,a>,<3,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>}